1. Unione: Se L1 e L2 sono lingue decidabili, anche L1 ∪ L2 è decidabile.
* Spiegazione: Possiamo costruire una macchina Turing (TM) che decide L1 ∪ L2. Il TM, sull'input 'W', simula il TMS per L1 e L2 in sequenza.
* Innanzitutto, simula il TM per L1. Se accetta, allora accetta 'W'.
* Se il TM per L1 rifiuta, simulare il TM per L2. Se accetta, allora accetta 'W'.
* Se il TM per L2 rifiuta, quindi rifiuta 'W'.
* Punto chiave: Poiché L1 e L2 sono decidabili, i rispettivi TMS * si fermano sempre (accettano o rifiutano). Ciò garantisce che anche la nostra TM decennale.
2. Incrocio: Se L1 e L2 sono lingue decidabili, anche L1 ∩ L2 è decidabile.
* Spiegazione: Simile a Union, possiamo costruire un TM che decide L1 ∩ L2.
* Simula il TM per L1. Se rifiuta, rifiuta 'W'.
* Se il TM per L1 accetta, simulare il TM per L2. Se accetta, allora accetta 'W'.
* Se il TM per L2 rifiuta, quindi rifiuta 'W'.
3. Complemento: Se L è un linguaggio decidabile, anche l '(il complemento di l) è decidibile.
* Spiegazione: Possiamo costruire un TM per l 'semplicemente scambiando gli stati di accettazione e rifiuta del TM che decide L.
* Dato il TM per L, creare un nuovo TM identico tranne:se la TM originale accetta, il nuovo TM rifiuta. Se la TM originale rifiuta, la nuova TM accetta.
* Aspetto cruciale: Funziona * solo * perché il TM originale è un decisore e si ferma sempre. Se il TM originale potesse loop, questa operazione non comporterebbe un decisore per il complemento.
4. Concatenazione: Se L1 e L2 sono lingue decidabili, è decidabile anche L1L2 (la concatenazione di L1 e L2).
* Spiegazione:
* Sull'input `w`, prova tutti i modi possibili per dividere` w` in due parti, `x` e` y`, tale che `w =xy`.
* Per ogni divisione, simula il TM per L1 su `x` e il tm per L2 su` y`.
* Se il TM per L1 accetta `x` * e * TM per L2 accetta` y`, allora accetta `w`.
* Se tutte le possibili divisioni sono state provate e nessuno soddisfa la condizione di cui sopra, allora rifiuta `w`.
* Importante: Poiché L1 e L2 sono decidabili, queste simulazioni si fermano sempre. Poiché proviamo tutte le possibili divisioni, la TM complessiva si ferma sempre.
5. Kleene Star: Se L è un linguaggio decidabile, anche L* (la stella Kleene di L) è decidabile.
* Spiegazione: Questo è simile alla concatenazione, ma consentiamo concatenazioni multiple (incluso zero).
* Sull'input `w`, per` i =0` to `| w |`:(dove `| w |` è la lunghezza di `w`)
* Prova tutti i modi possibili per dividere `w` in` I` parti, `x1, x2, ..., xi`, tale che` w =x1x2 ... xi`.
* Per ogni divisione, simula la TM per l su ciascun `xj`.
* Se il tm per l accetta ciascuno `xj` (per tutti` j` da 1 a `i`), allora accetta` w`.
* Se tutti i possibili valori di `io` e tutte le possibili divisioni sono state provate e nessuno soddisfano la condizione sopra, allora rifiuta` w`.
* Insight chiave: Poiché la lunghezza di qualsiasi stringa in l* non può essere maggiore della lunghezza dell'input `w`, possiamo limitare il numero di divisioni che dobbiamo provare. La simulazione si ferma dopo aver considerato tutte le possibili divisioni.
6. Reversione: Se l è un linguaggio decidabile, allora l
* Spiegazione: Costruisci un TM che fa quanto segue:
* Invertire la stringa di input `w` per ottenere` w
* Simula il tm per l su `w
* Se il tm per l accetta `w
7. Differenza: Se L1 e L2 sono lingue decidabili, anche L1 - L2 è decidabile. (L1 - L2 contiene tutte le stringhe in L1 che * non * in L2).
* Spiegazione: L1 - l2 =l1 ∩ l2 '. Poiché le lingue decidibili sono chiuse sotto il complemento e l'intersezione, sono anche chiuse sotto la differenza.
8. Prefisso: Se l è un linguaggio decidibile, allora prefisso (l) ={x | Per alcuni y, xy ∈ L} è decidibile.
* Spiegazione:
* Sull'input `x`, per tutti i possibili` y` che `| xy | <=| x | + some_constant`, (dove `some_constant` è la lunghezza massima delle stringhe da testare),
* Simula il tm per l su `xy`
* Se la TM accetta, accetta `x`
* Rifiuta se nessuna delle simulazioni sopra accetta.
Perché la chiusura è importante?
Le proprietà di chiusura sono fondamentali per comprendere il potere e le limitazioni delle classi di lingua formale. Sapere che una classe di lingue è chiusa in determinate operazioni ci consente di:
* Costruisci lingue più complesse: Possiamo combinare linguaggi decidibili più semplici usando queste operazioni ed essere certi che anche il linguaggio risultante è decidibile.
* Dimostrare proprietà linguistiche: Le proprietà di chiusura possono essere utilizzate in prove induttive per dimostrare che una determinata lingua appartiene a una classe specifica.
* Algoritmi di progettazione: Gli algoritmi che dimostrano la chiusura fungono da progetti per l'implementazione di parser e riconoscimenti per lingue complesse.
* Comprendi la gerarchia di decidibilità: Aiutano a chiarire la relazione tra le diverse classi di lingua (ad es. Regulari, senza contesto, decidibile, riconoscibile da Turing).
In sintesi, le proprietà di chiusura delle lingue decidabili sono una pietra miliare della teoria della calcolabilità. Dimostrano che le lingue decidibili sono una classe di lingue robusta e ben educata.
Programmazione © www.354353.com