Il problema di assegnazione è un tipo speciale di problema di programmazione lineare che si occupa dell'assegnazione di una serie di risorse (ad esempio lavoratori, macchine) a una serie di attività, in cui ogni risorsa può essere assegnata a solo un'attività e ogni attività può essere assegnata a una sola risorsa. L'obiettivo è ridurre al minimo il costo totale o massimizzare il profitto totale associato agli incarichi.
Pensaci così: Hai un team di idraulici (risorse) e un elenco di case che necessitano di riparazioni idrauliche (attività). Ogni idraulico è buono in diversi tipi di riparazioni e potrebbe addebitare importi diversi a seconda della casa. Il problema dell'assegnazione ti aiuta a capire il miglior idraulico per ogni casa per ridurre al minimo il costo totale.
Algoritmi comuni per risolvere il problema dell'assegnazione:
Mentre il problema dell'assegnazione può essere risolto utilizzando tecniche di programmazione lineari generali come il metodo Simplex, in genere vengono utilizzati algoritmi più efficienti e specializzati. Il più popolare è l'algoritmo ungherese .
1. Algoritmo ungherese (noto anche come algoritmo Kuhn-Munkres):
L'algoritmo ungherese è un algoritmo di ottimizzazione combinatoria che risolve il problema dell'assegnazione nel tempo polinomiale (O (n^3) per un problema n x n). Si basa sul concetto di corrispondenza minima di costo In un grafico bipartito. Ecco una rottura semplificata dei passaggi coinvolti:
a. Rappresentazione della matrice di costo:
* Il problema è rappresentato come una matrice di costo dove:
* Le righe rappresentano le risorse (ad esempio, idraulici).
* Le colonne rappresentano le attività (ad es. Case).
* Ogni cella (i, j) contiene il costo (o il profitto) dell'assegnazione della risorsa I all'attività j.
b. Riduzione della riga:
* Per ogni riga, trova l'elemento più piccolo in quella riga e sottrai da tutti gli elementi di quella riga. Ciò garantisce che ogni riga abbia almeno uno zero.
c. Riduzione della colonna:
* Per ogni colonna, trova l'elemento più piccolo in quella colonna e sottrai da tutti gli elementi in quella colonna. Ciò garantisce che ogni colonna abbia almeno uno zero.
d. Copri tutti gli zeri con il numero minimo di righe:
* Disegna il numero minimo di linee orizzontali e verticali per coprire tutti gli zeri nella matrice a costi ridotti.
* Se il numero di righe è uguale al numero di righe (o colonne) (n), è possibile trovare un assegnazione ottimale. Vai al passaggio (f).
* Se il numero di righe è inferiore a n, la soluzione corrente non è ottimale. Vai al passaggio (e).
e. Migliora la matrice (se il numero di righe
* Trova l'elemento scoperto più piccolo (cioè un elemento che non è coperto da nessuna linea).
* Sottrai questo elemento più piccolo scoperto da tutti gli elementi scoperti.
* Aggiungi questo elemento scoperto più piccolo a tutti gli elementi che si trovano all'intersezione di due righe.
* Torna al passaggio (D).
f. Assegnazione ottimale:
* Una volta che hai una matrice di costo in cui il numero minimo di righe per coprire tutti gli zeri è uguale al numero di righe (o colonne), è possibile trovare un incarico ottimale.
* Cerca righe e colonne con zeri singoli. Assegnare la risorsa corrispondente all'attività corrispondente.
* Rimuovere la riga e la colonna associate allo zero assegnato.
* Ripeti il processo fino a quando tutte le risorse e le attività non sono state assegnate.
Esempio (semplificato):
Supponiamo di avere tre idraulici (P1, P2, P3) e tre case (H1, H2, H3). La matrice di costo è:
| | H1 | H2 | H3 |
| ------ | ------ | ------ | ------ |
| P1 | 10 | 12 | 15 |
| P2 | 8 | 11 | 13 |
| P3 | 9 | 10 | 12 |
Applichiamo l'algoritmo ungherese (semplificato):
1. Riduzione delle righe:
| | H1 | H2 | H3 |
| ------ | ------ | ------ | ------ |
| P1 | 0 | 2 | 5 |
| P2 | 0 | 3 | 5 |
| P3 | 0 | 1 | 3 |
2. Riduzione della colonna:
| | H1 | H2 | H3 |
| ------ | ------ | ------ | ------ |
| P1 | 0 | 1 | 2 |
| P2 | 0 | 2 | 2 |
| P3 | 0 | 0 | 0 |
3. Copertina ZEROS: È possibile coprire tutti gli zeri con due righe (una orizzontale sulla riga P3 e una verticale sulla colonna H1). Da 2 <3, la soluzione non è ottimale.
4. Migliora la matrice: L'elemento scoperto più piccolo è 1.
* Sottrai 1 da elementi scoperti.
* Aggiungi 1 agli elementi di intersezione.
| | H1 | H2 | H3 |
| ------ | ------ | ------ | ------ |
| P1 | 0 | 0 | 1 |
| P2 | 0 | 1 | 1 |
| P3 | 1 | 0 | 0 |
5. Copertina zeri: Ora puoi coprire tutti gli zeri con tre righe. 3 =3, quindi la soluzione è ottimale.
6. Assegnazione ottimale:
* P1 può essere assegnato solo a H2 (singolo zero).
* P2 può essere assegnato solo a H1 (singolo zero).
* P3 può essere assegnato solo a H3 (singolo zero).
Pertanto, l'assegnazione ottimale è:P1 -> H2, P2 -> H1, P3 -> H3. Il costo totale sarebbe 12 + 8 + 12 =32.
Perché l'algoritmo ungherese funziona:il principio sottostante
L'algoritmo ungherese sfrutta i seguenti concetti:
* Aggiunta o sottrazione di una costante da una riga o colonna: L'aggiunta o la sottrazione di un valore costante da tutti gli elementi di riga o colonna non modifica l'assegnazione ottimale. Questo perché i costi relativi tra le risorse rimangono gli stessi.
* Assegnazioni a costo zero: L'algoritmo mira a creare una matrice di costi in cui gli incarichi ottimali hanno un costo zero. Ciò significa che hai trovato la migliore combinazione di risorse e compiti in base alla matrice di costo iniziale.
* Teorema di König: Questo teorema mette in relazione il numero minimo di linee necessarie per coprire tutti gli zeri in una matrice al numero massimo di zeri indipendenti (zeri in modo tale che non ci sono due si trovano nella stessa riga o colonna). Quando il numero di linee di copertura è uguale alla dimensione della matrice, è possibile trovare un set massimo di zeri indipendenti, che corrisponde a un incarico ottimale.
2. Altri algoritmi e considerazioni:
* Algoritmo di asta: Adatto a problemi di assegnazione su larga scala.
* Algoritmi di flusso di rete: Il problema dell'assegnazione può essere modellato come un problema di flusso di rete e risolto utilizzando algoritmi come l'algoritmo Ford-Fulkerson o l'algoritmo Edmonds-Karp.
Come il problema dell'assegnazione ottimizza l'efficienza:
Gli algoritmi del problema dell'assegnazione ottimizzano l'efficienza dell'assegnazione delle attività alle risorse:
* Riduzione al minimo dei costi/massimizzazione dei profitti: Trovano la combinazione di incarichi che comporta il costo totale più basso o il massimo profitto totale.
* Garantire un incarico individuale: Ogni risorsa viene assegnata a una sola attività e ogni attività viene assegnata a una sola risorsa. Ciò impedisce il sovraccarico di risorse o la duplicazione delle attività.
* Considerando le singole capacità/costi: La matrice di costo riflette i costi specifici o i profitti associati a ciascuna combinazione di attività di risorse. Ciò consente all'algoritmo di tenere conto delle diverse competenze e efficienze di ciascuna risorsa.
* Trovare la soluzione globale ottimale: Algoritmi come l'algoritmo ungherese garantiscono la ricerca del miglior incarico possibile (ottimale).
Applicazioni del problema dell'assegnazione:
Il problema dell'assegnazione ha una vasta gamma di applicazioni in vari campi, tra cui:
* Ricerca operativa: Ottimizzazione dell'allocazione delle risorse in produzione, logistica e trasporto.
* Gestione del progetto: Assegnare i membri del team ai compiti di progetto.
* Healthcare: Assegnare infermieri ai pazienti in ospedale.
* Sport: Assegnare i giocatori alle posizioni in una squadra.
* Machine Learning: Abbinamento di punti dati nel riconoscimento delle immagini o negli algoritmi di clustering.
* Trasporto: Assegnazione di veicoli ai percorsi nei servizi di consegna.
In sintesi, il problema dell'assegnazione è un potente strumento per ottimizzare l'allocazione delle attività in scenari in cui le risorse devono essere assegnate alle attività su base individuale. Algoritmi come l'algoritmo ungherese forniscono soluzioni ottimali efficienti e garantite, portando a significativi risparmi sui costi e una migliore efficienza.
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