Un set di adiacenza è un modo per rappresentare la struttura di un grafico. Per ogni vertice (nodo) nel grafico, il set di adiacenza contiene tutti i vertici a cui è direttamente collegato (i suoi vicini). In altre parole, è un set contenente tutti i vertici adiacenti a un determinato vertice.
Definizione formale:
Per un grafico g =(v, e), dove V è l'insieme di vertici ed e è l'insieme di bordi, l'insieme di adiacenza di un vertice * v * ∈ V, indicato come agg (v), è definito come:
Agg (v) ={u ∈ V | (v, u) ∈ E}
Esempio:
Prendi in considerazione un semplice grafico non indirizzato con i vertici A, B, C e D e bordi:
* (A, b)
* (A, c)
* (B, c)
* (CD)
I set di adiacenza per ogni vertice sarebbero:
* Agg (a) ={b, c}
* Agg (b) ={a, c}
* Agg (c) ={a, b, d}
* Agg (d) ={c}
Set di adiacenza vs. Elenco di adiacenza:
Sebbene simile nel concetto, è fondamentale differenziare un set di adiacenza da un elenco di adiacenza.
* Set di adiacenza: Utilizza un set Struttura dei dati per ogni vertice, implicando nessun ordine tra i vicini e garantire che ogni vicino appaia solo una volta. Questo è l'ideale quando l'ordine non è importante e si desidera un test di abbonamento efficiente (ad esempio, verificare se il vertice "x" è un vicino di "y"). Non è possibile archiviare più bordi tra gli stessi due vertici (multigraph).
* Elenco di adiacenza: Utilizza un elenco Struttura dei dati per ogni vertice, consentendo di ordinare i vicini e potenzialmente apparire più volte (che rappresentano più bordi tra gli stessi vertici). È più flessibile ma potrebbe non essere altrettanto efficiente per i test di appartenenza se è necessario evitare i duplicati.
Vantaggi dell'utilizzo di set di adiacenza:
* Test di abbonamento efficiente: Verifica se un vertice * u * è un vicino di vertice * v * (cioè, se * u * ∈ Adj (v)) è in genere O (1) in media utilizzando un'implementazione set hash.
* Rappresentazione semplice: Facile da capire e implementare.
* Nessun borgo duplicato: Per definizione, un set non può contenere elementi duplicati.
Svantaggi dell'utilizzo di set di adiacenza:
* Ordine non conservato: L'ordine in cui i vicini sono conservati non è garantito.
* Complessità dello spazio: Può utilizzare più spazio rispetto alle rappresentazioni alternative come le matrici di adiacenza, in particolare per i grafici sparsi. Nel caso peggiore (grafico completo), la complessità dello spazio è O (| v | * | v |).
* Non adatto per i multigrafi: Non può rappresentare più bordi tra gli stessi due vertici.
I set di adiacenza svolgono un ruolo significativo nel determinare la connettività della rete perché definiscono esplicitamente le connessioni dirette tra i vertici. Sulla base di queste connessioni, possiamo dedurre varie proprietà di connettività:
1. Determinazione dei componenti connessi: Attraversando il grafico usando i set di adiacenza, possiamo identificare i componenti connessi. Un componente connesso è un sottografo in cui ogni vertice è raggiungibile da ogni altro vertice all'interno di quel sottografo. Algoritmi come la prima ricerca di profondità (DFS) o la prima ricerca (BFS) possono essere implementati in modo efficiente utilizzando set di adiacenza per esplorare il grafico e identificare questi componenti. Se un grafico ha un solo componente collegato, significa che il grafico è collegato.
2. Calcolo dei percorsi più brevi: Algoritmi come l'algoritmo di Dijkstra o BFS possono essere utilizzati con set di adiacenza per trovare i percorsi più brevi tra due vertici. Questi algoritmi si basano sull'esplorazione dei vicini di un vertice (fornito dal set di adiacenza) per scoprire i percorsi.
3. Rilevamento di cicli: DFS può essere impiegato con set di adiacenza per rilevare i cicli in un grafico. Tracciando i vertici attualmente nello stack di ricorsione, possiamo identificare i bordi posteriori, che indicano la presenza di cicli.
4. Verifica della bipartilità: Possiamo utilizzare set di adiacenza in combinazione con algoritmi da colorare di grafici (ad esempio, usando DFS o BFS) per determinare se un grafico è bipartito. Un grafico bipartito è uno in cui i vertici possono essere divisi in due set disgiunti in modo tale che ogni bordo collega un vertice in un set su un vertice nell'altro set.
5. Valutazione di robustezza/resilienza: I set di adiacenza ci consentono di analizzare in che modo la rimozione di determinati vertici o bordi influisce sulla connettività della rete. Possiamo simulare queste rimozioni e quindi ricalcolare i componenti collegati per vedere se la rete viene frammentata.
In sintesi:
I set di adiacenza forniscono un modo fondamentale per rappresentare le relazioni grafiche. La loro efficienza nelle ricerche vicine li rende uno strumento prezioso per vari algoritmi grafici che sono cruciali per comprendere e analizzare la connettività di rete. Ci consentono di determinare se i vertici sono raggiungibili l'uno dall'altro, trovare percorsi tra vertici, identificare i componenti collegati e valutare la connettività complessiva e la resilienza di una rete. Sebbene abbiano limitazioni per quanto riguarda i multigrafi e il potenziale utilizzo dello spazio, rimangono una rappresentazione potente e ampiamente usata per molti problemi legati al grafico.
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